Vorweg: Solche Drehgriffe werden gern mal durch Dreck oder inneren Abrieb schwergängig. Falls noch nicht passiert, zerleg den mal und schmiere ihn neu, vielleicht bringt das schon was. Die Kette scheint übrigens auch ziemlich lang, das Schaltwerk steht ja schon beim größten Ritzel fast waagerecht nach hinten.
Und jetzt zur Technik eine Kombination aus Braindump und einigen Googeleien:
Die Zahnform der Ritzel erinnert an Uniglide, und bei der Optik des Schaltwerks klingelte was:
https://www.paul-lange.de/support/shimano/explosionszeichnungen_archiv/RD//RD-TY18-01.PDF
https://www.paul-lange.de/support/shimano/explosionszeichnungen_archiv/RD//RD-TY22-96.PDF
Also Shimano Tourney von Ende der 90er, bzw. angesichts der Schaltwerksbeschriftung eine Kopie davon. Vielleicht hilft das bei der Teilesuche. Passende Daumenschalthebel heißen z.B. SL-TY22 oer SL-TY05, aber dass die heute noch erhältlich sind ist mehr als unwahrscheinlich. Lenkerendschalter wird es wohl nicht mit passender Rasterung geben, sondern höchstens mit unpassender Rasterung und der Möglichkeit, auf rastfreien Reibungsschalter umzustellen. Bei 5-fach kann man durchaus ungerastert schalten, aber ob eine 7- oder 8-jährige das so sauber hinbekommt bzw. Lust hat, das zu lernen?
Die Ritzel sind wohl keine auf einen Freilauf gesteckte Kassette, sondern ein klassischer Schraubkranz, und den kann man als Ganzes auswechseln. Ein 7-fach-Kranz würde vermutlich am Rahmen anstehen, aber ich hab im Kopf, dass es bei 6-fach sowohl "6-speed" als auch "6-speed narrow" gab - kurze Suche führt auf ein paar nützliche Infos bei Sheldon Brown (wo auch sonst...):
http://sheldonbrown.com/speeds.html#hubs schrieb:
Shimano 5-speed and 6-speed shifters are made to index with the 5.5 mm spacing between sprockets on older 5- speed and 6-speed freewheels (or even, some new freewheels made as replacements). [...] On the other hand, old SunTour "Ultra" and modern 7-speeds have 5 mm spacing and will index with Shimano or SRAM 7-speed shifters, [...]
Suntour "ultra" entspricht dem "6-speed narrow". Wenn Du so einen Schraubkranz in die Finger bekommst, kannst Du ihn also mit dem vorhandenen Schaltwerk, einem 7-fach-Schalthebel deiner Wahl und einer kleinen Portion Glück passend indexiert schalten. 7-fach Schraubkränze gibt's noch hin und wieder zu kaufen, aber wie erwähnt werden die wohl am Rahmen anstoßen. Vielleicht kannst Du bei der Nabe genug Spacer von der linken Seite auf die rechte versetzen, um Platz zu schaffen; theoretisch musst Du auch die Felge wieder mittigziehen, aber an 'nem Trike wird's wohl höchstens an der Bremse stören, wenn das Hinterrad 1cm neben der Spur steht.
Viele Grüße,
Stefan